——将数学建模的思想和方法融入高等数学课程教学中

摘  要: 数学建模不仅有助于提高学生的数学知识水平和数学应用能力, 而且还能激

发学生学习数学的兴趣。针对高职高专高等数学教学中普遍存在的问题, 结合自身的教

学经验, 从教材的选择、教学大纲的制定、教学模式与方法的改革等多方面阐述了怎样将

数学建模思想融入高等数学的教学中。指出将数学建模思想融入到高等数学中是高职高

专数学教学改革的必经之路。

关键词: 数学建模, 教学改革  专业特色    教材改革

1  引言

  随着社会的发展、科学技术的不断进步, 尤其是经济产业结构的调整, 我国对高等技术应用型

人才需求正在逐步扩大, 高等职业教育在中国高等教育中的地位日趋重要。然而在高等职业教育快速发展的过程中, 也逐渐暴露出一些亟待解决的问题, 其中!高等数学?的问题集中表现为: 内容常年不变, 实践教学偏少, 与专业课、专业基础课的关系不明显, 教学方式方法僵化等。随着教育的大众化, 高职院校的学生都是从高考第五批或“三校”( 职高、中专、技校) 生中录取的, 因此普遍存在着学生的数学基础差、数学应用能力欠缺等问题。而高技能紧缺型人才的培养又十分迫切,对科学技术日新月异的变化, 面对新的教育形势, 在有限的数学教学学时内, 高职高专《高等数学》课程的培养的目标和任务是什么? 应当加强什么? 削弱什么? 这些矛盾的焦点都集中在高职高专的高等数学的课程建设的层面上。

    正当大学数学教师一筹莫展时, 数学学科中的一个具有极大生命力的新分支——数学建模,应运而生并得到迅速地、极大地发展。大学生数学建模竞赛在我国开展得如火如荼, 众多高校都开设了数学建模课程。数学建模何以这么受欢迎? 到底有什么魅力? 数学建模在培养学生创新意识与能力、提高学生综合素质等方面究竞有何作用? 数学建模给其它主干课程, 如高等数学的教学改革带来什么启示? 对高等数学的课程建设又有何指导和借鉴作用? 面对这一串的问题, 我们开始了认真地思索。

 2数学建模在高职高专人才培养过程中的意义和作用

   作为一名数学建模指导教师, 通过多年的指导和培训, 我们发现许多参加过竞赛的学生的自主学习能力和科研能力得到显著提高, 在毕业设计和后阶段的学习中表现出明显的优势, 毕业后得到用人单位的普遍认可。由此可见, 数学建模在培养和提高高职高专高技能人才的知识、能力、素质以及激发学习兴趣等方面起作举足轻重的作用。

2. 1 有助于创新精神和能力的培养

二十一世纪的创造型人才应具备下述特征:主动好奇, 敏锐的洞察力、灵活性、疑问性、独创

性、独立性、自信心、坚持力、想象力、严密性、幽默感、勇气、流畅的表达等。数学建模的题目由工程技术、经济管理、社会生活等领域中的实际问题简化加工而成, 没有事先设定的标准答案, 但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。因此, 数学建模非常具有实用性和挑战性。建模过程中, 学生可以自由地收集资料、调查研究, 使用计算机、软件和互联网。数学建模竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。因此, 能充分考验学生的洞察能力、创造能力、数学语言翻译能力、文字表达能力、综合应用分析能力、联想能力、使用当代科技最新成果的能力, 等等。数学建模是解决实际问题的一种方法, 是数学学科与社会的交汇。它是一个系统的过程, 数学建模活动是综合利用各种技巧、技能以及分析、综合等的认知活动。数学建模的方法并无固定模式可循, 往往因人而异、因题而异。因此, 数学建模并没有“标准模式”, 即使是对同一问题进行处理其采用的方法和思路也是灵活多样的。在对实际问题进行建模时, 必须善于从习惯的思维模式中跳出来, 敢于向传统知识挑战, 尝试一种与传统解题不同的方式,建立更为开放、灵活的学习方法以培养分析问题和解决问题的观察力、想象力和创造力。数学建模不仅能使学生获取了知识、培养了能力、增长了才干, 也使他们丰富的想象力与创造力得到充分的发挥。数学建模是培养创新能力的极好载体。很多学生用“一次参赛, 终生受益”来描述他们参加数学建模竞赛的感受。

2. 2 有助于学生的数学知识水平和应用能力的提高

    数学来源于实际, 许多数学知识是从不同事物纷乱复杂的数量关系中抽象出反映相同规律的共性, 经过数学家的辛勤工作升华为理论的结果,这对客观事物来说, 就是一个数学模型。数学应用于实际问题也要用# 理想化抽象方法?来进行模型假设, 无论是理论模型还是应用模型, 抽象出来的是事物的本质。数学建模让学生带着问题学习并学习着应用, 在这一过程中, 不仅加深了学生对各种知识的理解, 拓广了知识面, 从整体上提高数学知识水平, 而且, 提高了运用数学解决实际问题的能力。

2. 3 有助于学生学习兴趣的调动

   传统数学教学以理论教学为主, 不少学生对数学望而生畏, 觉得数学不过是一大套推理、计算和解题的技能而已. 甚至认为数学没多大用处, 是一种思维的游戏。数学建模突破传统教学方式,以实际问题为中心, 能有效地启发和引导学生主动寻找问题、思考问题、解决问题。同时, 由于其题目的开放性、教学方法的灵活性, 对青年学生非常具有吸引力。

3将数学建模的思想和方法融入高等数学教学中

    社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才, 而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人, 善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题, 取得经济效益和社会效益。要对复杂的实际问题进行分析, 发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律, 把这个实际问题化成一个数学问题, 这就是数学模型, 建立数学模型的这个过程就是数学建模。高职高专的培养目标是高等技能型应用人才。学生走上工作岗位后常常要做的工作是建立数学模型来解决实际问题, 所需要的远不只是数学知识和解数学题的能力, 而需要多方面的综合知识和能力。高等教育要在高度信息化的时代培养具有创新能力的高技能应用型人才, 将数学建模引入教育过程已是大势所趋。

3. 1 将数学建模的思想和方法融入教材的编写, 编写体现鲜明高职特色的教材

   教材作为重要的教学载体, 在体现教育思想、实现教育目标上起着举足轻重的作用。数学建模是一项实践性活动。高职高专培养的是技能型人才, 高等数学教材要体现数学建模的思想, 必须突出以实践为基础, 从根本上体现以应用性职业岗位需求为中心, 以素质教育、创新教育为目的, 以学生能力培养为本位的教育观念。针对高职高专的培养目标, 将实践性教学内容注入教材, 编写了“ 银领工程”( 国家技能型紧缺人才培养项目) 教材《高等应用数学》, 该教材以“ 案例驱动”法编写, 体现了高职教材特色, 浅显易懂, 应用性强, 能有效地激发学生的学习欲望。已被列入“ 十一五”国家级规划教材。

3. 2 制订切实可行的教学大纲, 构建具有基础性、灵活性和服务于专业教学改革的高职高专

数学教学模式

    教学大纲是保证教学质量和人才培养规格的重要文件, 是组织教学过程, 安排教学任务的基本依据。合理制定教学计划、科学设置教学内容, 能够提高学生学习的针对性和实用型。为服务专业, 与专业课教师一道, 根据学校专业课程的需要, 共同讨论数学课程的课程设置、教学内容等的教学安排, 逐步形成适合本校专业特色的课程教学新体系。我们设置了公共模块和选学模块, 搭建了“大平台, 活模块, 多接口”的课程教学体系框架。高等数学(I ) 为必修模块, 适用于理工类各专业; 选学模块根据专业设置, 如电子、通信、计算机类学生可选学无穷级数、傅立叶变换和拉普拉斯变换、线性代数等; 机械类学生可选学空间解析几何、线性代数等; 经济管理类学生选学线性代数、概率论与数理统计等。加强专业的针对性。

3. 3 以数学知识的“ 产生——形成——应用”为主线, 开展“ 三段式”教学

    数学建模是以实际问题为中心的形式和组织教学的。“数学教育本质上是一种素质教育。数

学的教学不能完全和外部世界隔离开来。” 关起门来在数学的概念、方法和理论中打圈子, 处于自我封闭状态, 以致学生在学了许多据说是非常重要、十分有用的数学知识以后, 却不怎么会应用或无法应用。把数学建模的思想和方法融入到数学主干课程中, 能将数学与现实更紧密地联系在一起, 更“通俗”化, 真正体现了数学是生活中密不可分的工具的深刻意义。同时, 数学教育不能仅仅是按部就班地静态传授, 它更应该注重对学科精神的领会, 只有这样, 学生在生动活泼的现实面前才不会束手无策, 才能创新与发现。基于这一事实, 在数学教学中我们充分注重数学知识的产生和应用, 形成了以数学知识的“产生——形成——应用”为主线的“ 三段式”教学模式。

    第一段: 还原数学知识的原创过程。正如恩格斯所说, “和其他所有科学一样, 数学是从人们的实际需要中产生的: 是从丈量地段面积和衡量器物容积, 从计算时间, 从制造工作中产生的”，“纯数学是以现实世界的空间的形式和数量的关系—— 这是非常现实的资料——为对象的。这些资料表现于非常抽象的形式之中, 这一事实只能表面地掩盖它的来自现实世界的根源”。这就是说, 数学发展的根本原动力, 它的最初的根源, 不是来自它的内部, 而是来自它的外部, 来自客观实际的需要。数学建模主张在数学教学中突出数学思想的来龙去脉, 揭示数学概念和公式的实际来源和应用, 恢复并畅通数学与外部世界的血肉联系。在“ 高等数学”教学中, 我们由生活中简单实际问题的分析和处理, 穿插数学史的介绍引出数学知识。阐明数学知识的产生, 让学生明白“ 为什么学数学”, 并引导学生主动寻觅和学习知识。每个知识都用实际生活案例引入, 如极限由人影长度的变化引入, 导数用驾车的速度( 瞬时速度) 引入, 定积分用不规则图形的面积引入, 级数用弹球路程、自然数e 的确定等引入, 引导学生积极思考

问题, 并带着问题往下学习。

    第二段: 讲解数学知识。数学建模以实际问题引入, 它更关注问题本身的解决、关注数学知识的来源及应用。在数学知识讲解部分, 我们充分考虑学生的知识和能力水平, 突出数学的基本思想和方法。传统数学教学从一些基本概念或定义出发, 包罗了大量的公式和定理。但在实际工作中, 真正需要用到的具体的数学定理、公式和结论其实并不很多, 但所受过的数学训练, 所领会的数学思想和方法却无时无刻不在发挥着积极的作用, 成为取得成功的最重要的因素。因此, 在微积分学教学中, 我们以极限——微分—— 积分为知识主线设计, 强化极限分析方法和微元分析方法,淡化运算技巧。对抽象概念, 我们一针见血地指出其本质, 如极限——分析事物发展变化规律的重要工具, 导数—— 瞬时变化率, 定积分——求总量的数学模型等, 揭示了数学朴素的本质, 让学生领会数学精髓, 而不是简单的“删繁就简”。同时,大量运用数表和图象, 描述直观, 表述生动、形象、深入浅出、通俗易懂, 增强了学生的感性认识, 增强了教学的亲和力。

    第三段: 数学知识的应用。随着社会的发展,数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用, 而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透, 所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。从历年的数学建模竞赛题目也可见一斑。我们针对专业课教学中遇到典型问题, 尝试用数学建模的方法解决, 通过对实际问题的处理, 介绍分析处理问题的基本数学思想和数学方法。例如针对电类专业的教学中, 讲导数的时候讲解导数在电流强度、电动势和输出功率的应用。针对模具专业的教学中, 任课教师利用曲率圆知识, 结合专业介绍了弧形工件加工模具的选择原理。这样, 不仅强化了数学与实际的血肉联系, 而且为学生的专业学习做好了铺垫。这样, 以实际问题的求解过程为铺垫, 引出数学知识, 再将知识应用于处理实际问题, 进行抽屉式布局, 强化了知识的应用, 激发了学生学习的主动行和积极性。同时, 在教学中将身边的数学问题、相关专业的数学问题活灵活现地展现在学生面前, 培养了学生学以致用的能力。在学制有限的高职高专教育中, 为学生顺利地过渡到后继课

程的学习创造了条件。

3. 4 采用案例教学, 培养学生的数学应用意识与能力

   建立数学模型是数学建模的关键步骤之一,学生数学建模能力的培养和提高要靠多练习、多

体会来实现。我国大学生在高中阶段接受的是纯粹的应试教育, 用数学的意识很弱, 对一个实际问题, 如何转化为数学形式去求解, 无从下手。而数学模型是联系数学与实际问题的桥梁和纽带, 学生学习数学模型, 参与数学建模, 可增强数学应用意识。在高等数学的教学中, 一个新概念或一个新内容, 都力图用一个激发求知欲的案例或示例引入, 在每个知识的教学中, 我们会列举与相关内容相联系的, 与生产、生活实际和所学专业结合紧密的应用实例, 让学生充分体会到数学本身就是刻画现实世界的数学模型, 并非纯理论的推导而无用处的游戏。例如: 函数关系中讲解指数增长模型、Logistic 曲线( 可以用以描述当自然资源和环境条件对种群增长起着阻滞作用时种群增长的情况、银行计息的复利公式) 等等。导数中讲解传染病传播的数学模型的建立, 以及经济学中的边际分析, 弹性分析、征税问题等例子。定积分中讲解非均匀资金流量的现值与未来值, 学习曲线模型等。微分方程中讲解马尔萨斯( Malthus) 人口模型; 阻滞增长模型; 再生资源的管理和开发的数学模型等。这样, 不但使学生学到知识, 而且让他

们体验到探索、发现和创造的过程, 是培养学生创新意识和能力、数学应用意识与能力的好途径。

3. 5 开设数学实验, 培养学生的实践动手能力, 提高学生的综合素质

    数学建模的另一关键步骤是利用计算机求解模型, 数学实验是数学建模的重要组成部分。高等数学历来被视为一门抽象、深奥的课程, 无形中挫伤了学生学习的积极性。如极限是数学教学的一个难点, 在传统的一支笔、一块黑板、一张嘴的教学模式下, 很难把随n 的不断变化而趋向某个常数或不趋向于某个常数的动态过程显露出来,更不能有一个学生参与的认知环境。而运用计算机教学工具, 采用数学实验这一教学方式, 可以把数列的通项随n 变化的过程动态的显示出来, 学生可以亲自参与, 反复实践, 反复体验何谓“无限逼近”。在这样的认知环境下, 加上教师的启发可以较好地完成概念的形成过程。通过数学实验,加强了学生对数学概念的理解, 提高了学生学习积极性。

    另外, 数学实验提供了一种利用计算机进行交互式学习的环境, 学生可以根据自己的设想, 动手动脑做“ 数学实验”。在这样的认知环境及教学模式下, 学生积极主动地学习, 观察能力、归纳能力、思维能力都得到了很好的训练和培养, 综合素质和动手能力也会得到明显提高。

数学实验是让学生亲身体验分析问题、处理问题、提炼模型、求解模型等分析、思考、解决问题的过程。在这个学习过程中, 学生为了寻求问题的求解途径, 认真查阅各种资料, 积极思考, 建立起各种知识间的联系, 并使各种难以理解的概念瞬间可以得到应用。同时, 学生掌握了先进的数学软件的使用方法, 在求解数学问题和模型时会如虎添翼, 迎刃而解。譬如一个复杂的定积分问题, 以前, 学生可能会苦于找不到求解思路和方法而无从下手, 而如今, 利用数学软件, 输入两、三行命令, 即可很快地得到求解结果。学生不再需要花费大量的时间在各种复杂的计算上, 而可把更多的时间用在数学思想、方法的理解及应用上, 从而, 提高学生的数学应用意识, 培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识问题和解决实际问题的能力。如此形成一个良性循环, 数学素质教育的目的才能实现, 高技能型紧缺人才才能得以培养。

    将数学建模的思想和方法融入高等数学课程教学是高职高专数学教学改革的必由之路, 我们将继续加大这一改革与探索的力度, 从而让高等数学更好地服务于高职高专的培养目标, 为培养出更多更优秀的高等技能型人才做出应有的贡献。